Что нужно для вступление в наследство по завещанию?

Какие документы обычно нужны для вступление в наследство по завещанию?

Идите с завещанием и со справкой по последнему месту жительства умершего и свидетельством о смерти к нотариусу и пишите заявление о вступлении в наследство. Там дальше нотариус вам даст запросы и вы соберете документы.

Какова процедура вступления в наследство и какие необходимы документы, если по завещанию оставлена квартира, и я там не прописана?

Для того, чтобы вступить в права на наследство, необходимо обратиться к нотариусу по месту регистрации умершего в течение 6 месяцев со дня смерти наследодателя.
Документы при первом посещении — справка с места жительства умершего, завещание, Ваш паспорт. Остальные документы донесете потом, в любое время. Перечень документов обязательно Вам выдаст нотариус. Если какие-то документы Вам не доступны — нотариус даст запрос. Что касается справки с места жительства умершего — то, если Вы не проживали совместно с наследодателем, то на ее получение также выдается запрос.

Если пропущен срок вступления в наследство (по завещанию), какие документы надо подавать в суд для восстановления права на наследство? (уже прошло 2 года). И может ли суд лишить наследства вообще?

Нельзя лишить того, чего у вас нет. Если срок пропущен, то вы сами себя уже лишили. Суд может срок восстановить только при наличии уважительных причин при условии, что вы обратитесь в суд в течение шести месяцев после того, как причины пропуска этого срока отпали. Если срок не будет восстановлен, то имущество как выморочное перейдет государству (если оно не принято другими наследниками, конечно).
Часто есть основания не для восстановления срока, а для доказывания факта принятия наследства. Этот способ лучше, если есть доказательства. Так что не торопитесь сами подавать заявление, все-таки стоит составить его у юриста.