Как расторгнуть трудовой договор по инициативе работника?

Можно ли по инициативе работника расторгнуть срочный Трудовой договор (заключен на 3 года) до истечения срока его действия?

Можно, по пункту 3 части первой статьи 77 ТК РФ и статье 80 ТК РФ возможно расторжение как срочного трудового договора, так и трудового договора, заключенного на неопределенный срок.

Расторжение трудового договора по инициативе работника до истечения срока предупреждения возможно на основании того, что работник является инвалидом или ему все равно необходимо отработать 2 недели?

На общих основаниях — то есть с предупреждением за две недели до увольнения. Раньше (то есть без отработки) возможно только если работодатель не против.

Возможно ли расторгнуть трудовой договор по инициативе работника во время отпуска? Сохранятся ли отпускные?

Если отпускные дни заработаны уже, а не авансом, то сохраняются, конечно.
Увольнение по собственному желанию проходит так же, как и вне отпуска: Вы обязаны предупредить работодателя за две недели до желаемой даты увольнения. То, что эти две недели Вы будете находиться в отпуске, не имеет значения.

Имеет ли право работник расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, без отработки, имея 2-х детей до 14 лет?

По Трудовому кодексу заявление об увольнении должно быть подано за 2 недели до даты увольнения. Дети здесь не помогут. Но по соглашению сторон можно уволиться и сразу, конечно, если руководство пойдет Вам навстречу и подпишет Ваше заявление с соответствующей датой. Если совсем нет сил видеть эту работу, то устройте на эти 2 недели себе больничный — он заменит отработку.